D1873. To be or not to be Imprimer
D1.Géométrie plane : triangles et cercles

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Existe-t-il un triangle ABC dont le périmètre est égal à 134 centimètres, le rayon du cercle inscrit est égal à 12 centimètres et le rayon du cercle circonscrit est égal à 27 centimètres ?

 Solution



C'est la première fois qu'un problème de géométrie rencontre un tel succès auprès de nos lecteurs avec 24 réponses:
pdfSaturnino Campo Ruiz,pdfThérèse Eveilleau,pdfCatherine Nadault,pdfJean Moreau de Saint Martin,pdfJean-Louis Legrand,pdfFabien Gigante,pdfMichel Goudard,pdfPierre Henri Palmade,pdfGaston Parrour,pdfDaniel Collignon,pdfPierre Leteurtre,pdfPierre Renfer,pdfJacques Guitonneau,pdfMarc Humery,pdfFrancesco Franzosi,pdfPaul Voyer,pdfJean Nicot,pdfPatrick Gordon,pdfDaniel Vacaru,pdfAntoine Verroken,pdfBernard Vignes,pdfDarias Abdelali,Yannick Huet et Elie Stiinès ont prouvé qu'il n'existe pas de triangle ABC satisfaisant les conditions de l'énoncé.
On peut noter que le triangle devient constructible dès qu'on modifie légèrement le périmètre p en laissant le rayon R du cercle circonscrit et r le rayon du cercle inscrit inchangés.
Ainsi avec p 134,2 cm, R = 27 cm et r = 12, l'inégalité de Blundon qui est une CNS de l'existence du triangle ABC est satisfaite:
2R2 + 10Rr – r2 – 2(R – 2r)√(R2–2Rr) ≤ p2/4 ≤ 2R2 + 10Rr – r2 + 2(R – 2r)√(R2–2Rr)
soit 18000 < 134.22 = 18009.64 < 18432