Ce problème est une extension du problème D120 .Un triangle isocèle très richement doté

Le triangle isocèle dont l'angle au sommet vaut 20°donne l'occasion de réaliser un vrai feu d'artifices si l'on regarde toutes les configurations possibles remarquables qu'on obtient en lançant seulement quelques fusées, c'est à dire en traçant quelques lignes.

Question n°1

On part de la figure ci-contre  le triangle ABC est isocèle de sommet A avec =20°.
On trace le point D sur le côté AC tel que CBD=60° et le point E sur le côté AB tel que BCE=50°. Il s'agit de trouver l'angle BDE.Indépendamment de la solution trigonométrique,donner au moins trois solutions géométriques différentes.

Question n°2

Toujours avec le même triangle isocèle ABC de sommet A et d'angle au sommet BAC = 20°,on considère les trois figures ci-contre :

- dans la figure n°1, le point D sur AC et les points E et F sur AB sont tels que CBD = 50°, BCE = 20° et CFD = 40°.
- dans la figure n°2, CBD = 60°, BCE = 30° et CFD = 50°. 
- dans la figure n°3, CBD = 70°, BCE = 50° et BCF = 60°.

Comparer d'une part les angles BDE des trois figures et d'autre part les angles EDF des figures n°1 et n°2 entre eux et à l'angle BDF de la figure n°3.

Question n°3

Dans la figure ci-contre, on considère les points D et G d'une part, E,F,H d'autre part respectivement situés sur les côtés AC et AB du triangle isocèle ABC tels que : CBD = 70°, BCE = 60°, BCF = 50°,CBG = 50° et BCH = 20°.Par ailleurs,on trace le point O à l'intersection de CE et de la médiatrice de BC. On pose BC = 1.
3-1) Trouver tous les segments qui ont pour extrémités un couple de points choisis exclusivement parmi {A,B,C,D,E,F,G,H,O}et qui sont tous de longueur unité.
3-2) Démontrer que DE = EG = OH et BH = OF = OG = EF.

Sources : très nombreuses revues de problèmes et récréations géométriques.

 Solution