Problème proposé par Dominique Roux
On part d'une hyperbole équilatère (H)de centre I et de trois points fixes A, B, C sur (H). Pour tout point M de (H) on construit les orthocentres A', B', C', des triangles respectifs MBC, MCA, MAB.
Quel est, lorsque M parcourt (H), le lieu du centre de gravité G' du triangle A'B'C' ?
Quel est, lorsque M parcourt (H) le lieu (S) du centre du cercle circonscrit O' du triangle A'B'C' ?
Montrer que (S) est une courbe de degré 6 ayant 4 points doubles réels ou imaginaires et un centre de symétrie et que (S) est constituée de deux branches, on observera deux cas selon que les 3 points A, B, C, sont ou ne sont pas sur une même branche de (H).
Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes:
a) (S) passe par I.
b) (S) est formée de deux branches tangentes avec un contact d'ordre 4.
c) Le centre de gravité G de ABC est sur l'image de (H) par l'homothétie de centre I et de rapport 1/3.
d) Deux des trois points A, B, C, sont symétriques par rapport à I.
A tout triplet A, B, C, de l'hyperbole  on a associé une courbe S(A,B,C), par un procédé que l'on peut appliquer à tous les triplets A',B', C' ci-dessus.
Montrer qu'alors toutes les courbes obtenues sont confondues : S(A,B,C) = S(A',B',C').

 Solution