Variante n°1
Sur les n sommets d'un polygone régulier on inscrit les entiers naturels 1,2,3,..n dans le sens des aiguilles d'une montre.
En partant de l'entier 1 dans le sens des aiguilles d'une montre, on compte 1,2,3,1,2,3,1,2,3,.. et on efface successivement les entiers sur lesquels on compte le chiffre n° i ( i = 1 ou 2 ou 3). Après avoir fait le tour complet du polygone, on poursuit le processus avec les entiers restants sans rupture dans le comptage 1,2,3,1,2,3,... jusqu'à ce qu'il ne reste qu'un heureux élu désigné par A₁(n,i).

Exemple : n = 8 et i = 1.Les 8 entiers 1 à 8 sont inscrits sur les sommets d'un octogone. On décide d'éliminer les entiers sur lesquels on compte 1.On élimine donc 1,4,7 puis 3 et 8 puis 6 et enfin 2. Il reste le nombre 5 et l'on a A₁(8,1)=5

Selon le même processus, si on garde les entiers sur lesquels on compte le chiffre n° i ( i = 1 ou 2 ou 3), on obtient un heureux élu désigné par B₁(n,i).
Exemple : n = 8 et i = 2.On garde les nombres 2, 5 et 8 à l'issue du premier tour puis 8 à l'issue du second tour. L'heureux élu est donc B₁(8,2)=8

Calculer les 6 termes A₁(2006,i) et B₁(2006,i) pour i = 1, 2 et 3.

Variante n°2

On inscrit les entiers naturels 1,2,3..n sur une seule et même colonne. En partant de l'entier 1 et en allant vers le bas, on compte 1,2,3,1,2,3,1,2,3,.. et on efface comme précédemment les entiers sur lesquels on a compté un chiffre n° i ( i = 1 ou 2 ou 3). On poursuit le processus en recomptant 1,2,3,1,2,3,.. à partir du premier nombre figurant en haut de la colonne jusqu'à ce qu'il ne reste qu'un heureux élu désigné par A₂(n,i).
Exemple : n = 8 et i = 1.On efface successivement 1,4,7 puis en repartant du premier nombre figurant en haut de la colonne, on efface 2 et 6 puis on repart à nouveau du haut de la colonne et on efface 3. Enfin on élimine 5 et l'heureux élu est A₂(8,1)= 8.

Si on garde les entiers sur lesquels on compte le chiffre n° i ( i = 1 ou 2 ou 3), on obtient un heureux élu désigné par B₂(n,i).
Exemple : n = 8 et i = 2.On garde les nombres 2, 5 et 8 à l'issue du premier tour puis 5 à l'issue du second tour. L'heureux élu est donc B₂(8,2)= 5.

Calculer les 6 termes A₂(2006,i) et B₂(2006,i)pour i = 1,2 et 3.

Existe-t-il des entiers n tels que pour i = 1,2 et 3, A₁(n,i) = A₂(2006,i)? B₁(n,i)=B₂(2006,i)?
Et réciproquement existe-t-il des entiers n tels que pour i =1,2 et 3, A₁(2006,i)=A₂(n,i)? B₁(2006,i)=B₂(n,i)?

Nota : ce problème est une variante du problème G204 appelé problème de Josèphe dans lequel on élimine un entier sur deux au lieu d'en éliminer un ou deux sur trois.

 Solution