G2958. Dodécaphonisme - G2958. Dodécaphonisme G2. Combinatoire - Déno... | Les jeux mathématiques de Diophante, plus de 300

Problème proposé par Pierre Renfer

En musique dodécaphonique, on utilise comme notes les douze demi-tons de la gamme bien tempéré, à une octave près.On peut donc assimiler l’ensemble des notes au groupe Z/12Z des entiers, modulo 12.
On appelle série un dodéca-uplet (a₁,a₂,a₃,....,a₁₂) de douze notes distinctes.
Sur l’ensemble Σ des 12 ! séries, on considère les quatre transformations suivantes :
Le déphasage D transforme la série (a₁,a₂,a₃,....,a₁₂) en la série (a₂,a₃,....,a₁₂,a₁)
La rétrogradation R transforme la série (a₁,a₂,a₃,....,a₁₂) en la série (a₁₂,a₁₁,a₁₀,....,a₂,a₁).(On joue la série à l’envers)
La transposition T transforme (a₁,a₂,a₃,....,a₁₂) en la série (a₁+ 1,a₂ + 1,a₃ + 1,....,a₁₂ + 1)(On ajoute un demi-ton à chaque note)
La symétrie S transforme (a₁,a₂,a₃,....,a₁₂) en la série (– a₁,– a₂,– a₃,....,– a₁₂)
On note G le groupe engendré par ces quatre transformations de Σ
Question 1
Montrer que le groupe G est d’ordre 576
Question 2
On fait opérer le groupe G sur Σ. Combien obtient-on d’orbites (classes d’équivalences de séries) ?

Solution