Une position aux échecs est un arrangement (orienté) de pièces d'échecs placées sur un échiquier de taille donnée.
Dans la suite, nous considèrerons toutes les positions dans lesquelles n pions sont placés sur un plateau n×n, de manière à ce qu'il n'y ait qu'un seul pion dans chaque ligne et dans chaque colonne.
Nous appellerons une telle position une position ouverte si une tour, commençant au coin inférieur gauche (vide) et utilisant uniquement des mouvements vers la droite ou vers le haut, peut atteindre le coin supérieur droit sans se déplacer sur un case occupée par un pion.
Soit f(n) le nombre de positions ouvertes pour un échiquier n×n.
Par exemple, f(3)=2 , illustré ci-dessous par les deux positions ouvertes pour un échiquier 3×3.
 













On donne aussi f(5)=70.
Déterminer f(1000) modulo 10¹²

 Solution