Si le comptage des moutons ne vous permet pas de trouver le sommeil, voici un somnifère beaucoup plus efficace : vous choisissez un chiffre k dans l’ensemble {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} puis vous énumérez tous les entiers naturels consécutifs dans l’ordre croissant 1,2,3,...n et pour tout n vous calculez le nombre cumulé A(k,n) des apparitions du chiffre k dans la suite des entiers de 1 à n. C’est ainsi que A(1,1) = 1, A(1,10) = 2, A(1,20) = 12,.... A(2,1) = 0, A(2,10) = 1, A(2,20) = 3 etc... . Pour quelle(s) valeurs de k, existe-t-il au moins un entier n tel que le nombre cumulé d’apparitions du chiffre k dans le suite des entiers de 1 à n est égal à n, soit (An,k) = n ? Pour ces valeurs de k, trouver le plus petit n > 1 et le plus grand n satisfaisant l’équation A(n,k) = n.

 Solution