Après avoit creusé son 2010^ième trou, le sapeur Camember a devant lui un gros tas de 2010 cailloux qu'il a scrupuleusement numérotés de 1 à 2010. Il considère tous les tas de cailloux possibles constitués de 1,2,3,...,k,...2010 cailloux et calcule pour chaque tas le produit des inverses des nombres inscrits sur les cailloux. Aidez-le à calculer la somme de tous ces produits avant qu'il n'attrape une très grosse migraine avec les 2²⁰¹⁰ - 1 tas qu'il s'apprête à inventorier.

Satisfait de la solution que vous lui avez donnée et qui lui a fait gagner beaucoup de temps, avant de creuser son 2011^ième trou, le sapeur Camember se divertit en partageant le tas des 2010 cailloux en deux tas plus petits puis chacun de ces tas en deux autres tas de plus petite taille et ainsi de suite... Chaque nouveau tas a au moins un caillou. Il s'arrête quand il obtient 2010 tas d'un caillou chacun. A chaque partage d'un tas, il calcule le produit des nombres de cailloux contenus dans les deux tas qui résultent du partage et il additionne tous les produits ainsi trouvés au cours des partages successifs. Pour quelle séquence des partages, la somme des produits ainsi calculés est elle : 1) maximale ? : 2) minimale ?

 Solution