Q1 J’ai sur mon bureau un globe terrestre assimilé à une sphère parfaite de rayon R . Je choisis n points au hasard* sur le globe. Quelle est la probabilité pour qu’ils soient tous situés sur l’hémisphère Nord ?
Q2 Je choisis neuf points au hasard* sur le globe. Quelle est la probabilité pour qu’au moins six d’entre eux soient situés sur le même hémisphère (i.e. tous du même côté par rapport à un plan passant par le centre de la sphère et coupant celle-ci selon un grand cercle) ?
Q3 Je choisis k points au hasard* sur le globe , k entier fixé à l’avance, et je constate en répétant l’expérience un grand nombre de fois que la probabilité qu’ils soient tous situés sur le même hémisphère est égale à 1/2. Que vaut k ?
Q4 Je fais l’expérience qui consiste à choisir un point au hasard* sur le globe, puis un deuxième, puis un troisième...puis un k-ième, et je m’arrête quand le dernier point numéroté k+1 n’est plus dans le même hémisphère que les k autres précédents. Si je renouvelle cette même expérience un très grand nombre de fois, quel est le nombre moyen de points qu'a nécessité chaque expérience ?
*Questions subsidiaires : pour choisir un point au hasard sur le globe, on considère une répartition de probabilité proportionnelle aux surfaces. Pour ce faire, je consulte une table de nombres de hasard qui me donne successivement un nombre L appelé longitude, exprimé en degrés, minutes et secondes et compris entre -180° et +180° et un nombre l appelé latitude également exprimé en degrés, minutes et secondes et compris entre – 90° et +90 Je reporte sur le globe le point M de longitude L et de latitude l. Le point M est-il réellement choisi selon une loi de répartition de probabilité proportionnelle aux surfaces ? Si oui, pourquoi ? Sinon, comment faire ?
Solution
