G101. Deux points au hasard et un triangle |
G1. Calcul des probabilités |
On choisit deux points au hasard sur l'intervalle [0,1] selon une loi de distribution uniforme. Cela donne trois intervalles de longueurs a, b e c.
SolutionQuestion n°1
Sur l'intervalle [0,1] des nombres réels, on choisit au hasard deux points P et Q d'abscisses . Soit les deux variables aléatoires X = min(x,y) et Y=max(x,y) qui sont respectivement la plus petite et la plus grande de ces deux abscisses.
Les trois intervalles déterminés par le choix des deux points sont alors les trois variables X,Y-X et 1-Y. Ces trois intervalles permettent de construire un triangle dont les côtés a,b, et c sont égaux à ces intervalles si et seulement si : X 1/2, Y et Y-X 1/2. X et Y doivent donc se trouver à l'intérieur du triangle rectangle isocèle PQR représenté ci-dessus hachuré en jaune. La probabilité pour que l'on puisse construire un triangle est alors définie par =1/4
Question n°2Le triangle (a,b,c) est obtus si et seulement si : ou bien ou bien
Si on considère la première inéquation, elle est équivalente à Y>1/(2*(1-X)), la deuxième à et la dernière à . A l'intérieur du triangle PQR, ces inéquations délimitent trois « lentilles » adossées respectivement aux côtés PR, PQ et QR comme le fait apparaître le graphe ci-après :
R
P Q
Les courbes qui délimitent les bords des lentilles à l'intérieur du triangle PQR sont des arcs d'hyperbole.
La probabilité pour que le triangle soit obtus est donc définie par =
L'aire de la 1 ère lentille est égale à aire du trapèze OPRS - =3/8 ? Log(2)/2. L'aire de la 2 ème lentille est égale à et aire OPQS=1/4, ce qui donne après calcul de l'intégrale simple une surface égale à 3/8 ? Log(2)/2 comme celle de la 1 ère lentille. Ce résultat était attendu car les 3 intervalles X, Y-X et 1-Y obéissent à la même loi de probabilités et sont interchangeables. Il est facile de vérifier que la 3 ème lentille symétrique de la 2 ème par rapport à la droite y+x=1, a aussi la même aire.
L'aire totale des 3 lentilles est donc égale à 9/8 ? 3*Log(2)/2 et la probabilité demandée s'établit à 9/2 ? 6*Log(2) = 9/2 ? Log(64) = 0,341169?. |