Je choisis un entier k et je fais l’inventaire du nombre p(k) des partitions de cet entier obtenues en additionnant les entiers 1,2,…,k pris dans l’ordre croissant avec ou sans répétition. Ainsi avec l’entier 5, j’ai 7 partitions possibles : 5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1, 5 = 1 + 1 + 1 + 2, 5 = 1 + 1 + 3, 5 = 1 + 2 + 2, 5 = 1 + 4, 5 = 2 + 3 et 5 = 5 , soit p(5 ) = 7.
Dans un tableau à double entrée où figure en première colonne la liste complète de ces p(k) partitions, j’établis cinq colonnes qui contiennent respectivement pour chaque partition:
- le nombre de chiffres 1,
- le nombre de nombres distincts,
-& le nombre de signes + utilisés,
- le décompte des partitions qui comportent des nombres tous distincts,
- le décompte des partitions qui comportent des nombres tous impairs.
Je calcule enfin les totaux correspondant à ces cinq colonnes.

Par exemple, pour k = 5, j’obtiens le tableau suivant :










Q₁ J’observe que les totaux des deux premières colonnes « nombre de 1 » et « nombre de nombres distincts » sont identiques, à savoir 12. De même le nombre de partitions avec des nombres tous distincts est identique au nombre de partitions avec des nombres tous impairs, à savoir 3.Démontrer que ces deux propriétés sont vraies quel que soit l’entier k.
Q₂ J’établis le tableau pour un certain entier k tel que p(k) est égal à l’unité près à la différence entre le nombre total de signes + utilisés et le nombre total de 1 contenus dans toutes les partitions.Que vaut k ?
Q₃ Pour cette valeur de k, je décide d’écrire les partitions avec les entiers pris dans un ordre quelconque, combien y a-t-il de partitions supplémentaires par rapport à p(k) ?

 Solution