A l'issue du colloque sur les Problèmes du millénaire (voir rubrique H133),cinq mathématiciens de nationalités différentes s'apprêtent à acheter l'ouvrage qui reprend les minutes des principales communications. Ils utilisent la monnaie de leur pays d'origine dont les unités de compte avec les pièces et coupures en circulation sont respectivement :

-          le ducat (1, 2, 5, 10),

-          le liard (1, 2, 5, 10, 20, 50),

-          la pistole (1, 5, 10, 25),

-          le sequin (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64)

-          le sesterce (1, 3, 9, 27, 81).

 Le prix du livre s'exprime dans les cinq monnaies sous la forme de cinq entiers tous > 1. Par ailleurs, il est bien connu qu'un ducat vaut plus cher qu'un liard mais vaut moins cher qu'un sequin.

Au moment du passage en caisse, on entend les cinq déclarations suivantes :

-          « Mon prix, affirme le premier, est le plus petit entier à partir duquel il existe au moins 2008 façons de le régler »

-          « Dans mon cas, confesse le second, c'est facile à retenir, mon prix est le quart du nombre de façons de le régler»

-          « Pour moi, dit le troisième, ce n'est guère plus compliqué, c'est le cinquième »

-          « Et pour nous disent en chœur les deux derniers, le prix à payer de l'un est égal au nombre de façons de régler le prix de l'autre »

Quels sont les cinq prix de l'ouvrage exprimés selon les cinq monnaies ?

Nota : on suppose que les règlements s'effectuent avec des pièces et des coupures sans rendu de monnaie à la caisse et que chaque mathématicien dénombre  tous les cas possibles pour régler son prix comme s'il détenait un nombre suffisant de pièces et de coupures.

 Solution