On se fixe un entier N > 1 et le jeu consiste à trouver (si elle existe) une liste (L) d’entiers naturels > 1 à partir de laquelle on peut obtenir N en effectuant tour après tour l’une des deux opérations suivantes:
1) Les entiers a et b sont retirés de (L) et l’entier a^b entre dans la liste.
2) Tout entier qui peut s’écrire sous la forme c^d avec c et d entiers > 1 est retiré de (L) et les entiers c et d entrent dans la liste.
On adopte les règles supplémentaires suivantes :
1) La liste (L) initiale ne contient jamais plus de cinq entiers et ces entiers sont tous ≤ 100.
2) Au cours de la partie, (L) peut contenir un entier quelconque en plusieurs exemplaires.

Par exemple à partir de (L) qui contient initialement l’entier 64, on obtient N = 256  en deux tours.
Comme 64 s’écrit 8²,  au 1^er tour on remplace 64 par 2 et 8. Au 2^ème  tour, 2 et 8 donnent 2⁸ = 256 = N

Q₁ Prouver qu’à partir la liste initiale (L) ={4,64}, on sait obtenir les deux cibles N = 127 et N = 2187. Décrire les deux séquences qui permettent de les obtenir.
Q₂ Trouver une liste initiale (L) qui permet d’obtenir en moins de dix tours  la cible  2 147 483 647 qui est le nombre premier de Mersenne découvert par Euler.