L’entier T(k,n) = n^n^n^...^n, n apparaissant k fois dans la tour des exposants, est appelé par convention « tour babélienne de k étages et de n appartements par étage ». On rappelle qu’en l’absence de parenthèses dans l’expression de T(k,n),les exposants sont toujours pris du haut vers le bas. C’est ainsi que T(3,3) = 3^3^3 est égal à 3^(3^3) = 3^27= 7 625 597 484 987  et non pas à  (3^3)^3 = 27^3 = 19683 avec les exposants pris de bas en haut.
Pb n°1 On considère la séquence des restes de la division par 2011 des tours babéliennes de  1,2,3,...,k,... étages et de 2 appartements par étage. Démontrer qu’à partir d’un certain rang les termes de la séquence sont constants.
Pb n°2 Trouver la plus petite tour babélienne de k étages telle que la différence T(k+1,n) – T(k,n) avec la tour qui a un étage de plus et le même nombre n d’appartements par étage est divisible par 2011 quel que soit l’entier n.

 Solution