| A4941. Le millésime pour objectif commun |
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| A4. Equations diophantiennes |
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Problème proposé par Raymond Bloch
Alice,Bernard et Caroline disposent de grilles carrées de dimensions respectives 49 x 49,64 x 64 et 100 x 100 dont toutes les cases contiennent un signe « + ». La Loi autorise chacun d’eux à inverser les signes de toutes les cases soit d’une même ligne soit d’une même colonne, les « + » devenant des « ‒ » et les « ‒ » devenant des « + ». La Loi peut être appliquée autant de fois que les trois amis le souhaitent et à chaque tour chacun d'eux fait le décompte des signes « ‒ » qui sont dans la grille. Q1 Démontrer qu’un seul des trois amis peut obtenir un nombre total de 2022 signes « ‒ ». Q2 Déterminer le plus petit millésime M postérieur à 2022 que les trois amis peuvent simultanément obtenir. SolutionCe problème a donné lieu à deux interprétations bien distinctes: - le nombre N(i,j) des signes "moins" est le cumul des signes "moins" obtenus à chaque étape pour les i + j inversions réalisées sur i lignes distinctes et j colonnes distinctes, ce qui donne N(i,j) = n*(i+j) - i*j avec une grille carrée de dimension n.Dans ce cas on a les solutions de  Daniel Collignon,Pierre Henri Palmade,Louis Rogliano,Nicolas Petroff et Raymond Bloch- le nombre N(i,j) de signes "moins" est obtenu en photographiant la grille à l'issue de i + j inversions sans calculer à chacune des inversions le nombre des nouveaux signes "moins" qui apparaissent. Dès lors, N(i,j) = n*(i+j) - 2*i*j.La première question a une solution mais la second n'en a pas comme le montrent les réponses de Jean Moreau de Saint Martin et Dominique Chesneau |
