| A473. Briques eulériennes |
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| A4. Equations diophantiennes |
 
En mémoire de leur illustre aïeul Leonhard, Johann et son petit-fils Alexander viennent de fabriquer chacun une brique eulérienne qui a la forme d'un parallélépipède rectangle dont les dimensions des trois côtés et des diagonales des six faces sont des nombres entiers de millimètres,inférieurs à 1000, qui sont premiers entre eux dans leur ensemble. -J : il y a exactement un côté de ma brique qui est un nombre impair, -A : dans la mienne, un côté est divisible par 4 et un autre côté est divisible par 16, -J : toujours dans la mienne, un côté est divisible par 3 et un autre côté est divisible par 9, -A : j'observe qu'un côté de ma brique est divisible par 5, -J : ...et un côté de ma brique est divisible par 11. Démontrer que les affirmations de Johann et d'Alexander s'appliquent à toute brique eulérienne.
Ils observent que le volume en mm3 de leur brique est le
même multiple entier de leur âge exprimé
en années.La somme de leurs âges est inférieure à 100. Quels sont les âges de Johann et d'Alexander ?
SolutionUne fois n'est pas coutume. Contrairement aux intentions de l'auteur du problème, il y a deux couples d'âges à la fois possibles et plausibles pour Leonhard et Alexander, respectivement (85,13) et (70,25). Daniel Collignon,Claude Felloneau,Jean Moreau de Saint Martin,Pierre Henri Palmade,Jacques Guitonneau ont résolu le problème ainsi qu'Antoine Verroken qui nous signale l'article d'Alexandra Ortan et de Vincent Quenneville-Bélair intitulé Euler's_brick dans lequel sont démontrées les propriétés des divisibilités successives par 3,4,5...11 des côtés d'une brique eulérienne. |