A459. Arithmétique au Paradis Imprimer
A4. Equations diophantiennes
calculator_edit.png  

Au Paradis, Diophante et Saint Pierre ont le dialogue suivant:

-          D : Je viens de croiser trois belles âmes qui sont arrivées au Paradis il y a respectivement a , b et c années. Les trois entiers (a,b,c)forment un triplet pythagoricien primitif (a,b et c sont premiers entre eux et a2 + b2 = c2). Pouvez-vous me donner les trois entiers a, b et c ?

-          P : Depuis que j'ai les clés du Paradis, j'ai observé un bien grand nombre de triplets pythagoriciens primitifs. Il me faudrait des heures et des heures pour les énumérer tous.

-          D : Si j'ajoute le même chiffre x devant chacun des trois nombres a,b et c, j'obtiens trois entiers qui constituent un autre triplet pythagoricien primitif. Pouvez-vous me donner x, a, b et c ?

-          P : Cette fois-ci, je sais répondre et la solution est unique.

Trouver x, a, b et c et justifier l'unicité de la solution.

 

Post Scriptum du 10 juillet 2009: Jean Moreau de Saint Martin nous signale avec humour qu'après un certain temps passé au purgatoire il a démontré que l'unicité de la solution trouvée par Saint Pierre n'est vraie que si l'ancienneté des entrées au Paradis ne dépasse pas l'âge de l'humanité (4 millions d'années par hypothèse) mais qu'à l'inverse il y a une infinité de solutions avec a,b et c quelconques. A vous de le démontrer



 Solution


Jean Moreau de Saint Martin,Pierre Henri Palmade,Claudio Baiocchi,Daniel Collignon,Pierre Jullien et Philippe Laugerat ont trouvé la solution (x,a,b,c) = (1,5,12,13) et ce sont les trois premiers nommés qui ont poussé les investigations montrant que cette solution contrairement à ce que dit l'énoncé n'est pas unique. La solution suivante avec des triplets primitifs est (1,78 000,23 765 561, 23 765 689) et il en existe une infinité . A la décharge de Saint Pierre, celui-ci a trouvé des statistiques très défaillantes quand il est monté lui-même au Paradis il y a un peu moins de 2000 ans!