A388. Les points fixes Imprimer
A3. Nombres remarquables

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Pour tout entier n > 1, on désigne par f(n) le produit de tous les diviseurs positifs de n qui lui sont strictement inférieurs. On recherche les points fixes de f, c'est-à-dire les entiers > 1  tels que f(n) = n.
Q1 Démontrer qu’on sait trouver trois points fixes consécutifs mais qu’il est impossible d’en trouver quatre ou plus. Trouver deux triplets de points fixes consécutifs tous inférieurs à 100.
Pour les plus courageux disposant d’un automate, déterminer le premier triplet de points fixes consécutifs ≥ 2022.
Q2 Démontrer qu’il existe une infinité dénombrable de points fixes et donner la condition nécessaire et suffisante pour qu’un entier n soit un point fixe.

Source : ouvrage « Elementary Theory of Numbers » de W.Sierpinski

 Solution

Par ordre alphabétique inversépdfPierrick Verdier,pdfElie Stinès,pdfJérôme Pierard,pdfOlivier Pasquier de Franclieu, Gaston Parrour,pdfPierre Henri Palmade,pdfJean Moreau de Saint Martin,pdfBaphomet LeChat,pdfKee-Wai Lau,pdfBruno Grébille,pdfMarie-Nicole Gras,pdfFrancesco Franzosi,pdfClaude Felloneau,pdfThérèse Eveilleau,pdfJacques Delaire,pdfMaxime Cuenot,pdfDaniel Collignon,pdfMaurice Bauval et pdfYves Archambault sans oublier l'auteur pdfWaclaw Sierpinski ont résolu le probllème.Les points fixes sont de la forme p3 et pq, p et q nombres premiers.