Problème proposé par Michel Lafond

On appelle trapèze de largeur L et de hauteur H, une configuration comprenant  H  lignes contenant respectivement (de haut en bas)  L, L – 1, L – 2, ---, L – H + 1  emplacements. Si L = H, le trapèze devient un triangle. Un entier naturel  n  est dit trapézien si on peut disposer les entiers  1, 2, 3 ---, n  dans les emplacements d’un trapèze de hauteur H ? 2 , de telle sorte qu’à partir de la deuxième ligne, tout entier soit égal à l’écart entre les deux entiers situés au-dessus de lui.
Exemples :  3  et  14  sont trapéziens :

1    3            9        13        1        11        14
   2                    4        12        10        3    
                             8          2         7        
                                    6        5            

Q₁  Démontrer que les puissances de 2 ne sont pas trapéziennes.
Q₂  Démontrer que tout nombre impair à partir de 3 est trapézien.
Q₃  Quels sont les nombres trapéziens pairs inférieurs à 40 ?

 Solution

Michel Lafond,Patrick Gordon et Bernard Vignes ont résolu tout ou partie du problème.