A2839. Commutations à la chaîne Imprimer
A2. Algèbre élémentaire

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Deux polynômes P et Q d’une seule variable x sont dits « commutables » si P(Q(x)) = Q(P(x)).
On s’intéresse ci-après aux polynômes commutables Pk(x)  dont le coefficient du monôme de degré le plus élevé k est égal à 1, par exemple P1(x) = x et P2(x) = x2 – 1.
Q1 Démontrer qu’il existe un entier naturel a > 0 et un polynôme P₃(x) de degré 3 tel que
P2(x) = x2 – a et P3(x) sont commutables.
Q2 Avec la valeur de a ainsi trouvée dans Q1, démontrer que pour tout entier k ≥ 4, il existe un seul polynôme Pk(x) de degré k commutable avec P2(x) = x² – a.
Application numérique : déterminer les coefficients des quatre monômes de degrés les plus élevés de P2021(x).
Q₃ Pour les plus courageux : démontrer que dans la suite des polynômes P₁,P₂,P₃ ,…Pk ainsi obtenus, tous les polynômes Pi et Pj pris deux à deux sont commutables,  2 ≤ i ≤ k, 2 ≤ j ≤ k, i ≠ j

 Solution



pdfJean Moreau de Saint Martin,pdfClaude Felloneau,pdfJean Louis Legrand,pdfAnne Bauval,pdfPierre Henri Palmade,pdfDaniel Collignon,pdfMaurice Bauval,pdfLouis Rogliano,pdfThérèse Eveilleau,pdfGaston Parrour,pdfMarc Humery ont résolu tout ou partie du problème.