A247. Radicaux sans frontières - A247. Radicaux sans frontières A2. Algèbre é...

Note liminaire :

désigne la partie entière par défaut et {x} la partie décimale d'un nombre réel x positif.
Q₁ On pose x = (1 +√2)ⁿ . Déterminer selon la parité de n la limite de {x_n} quand n tend vers l'infini.
Q₂ On pose y = (1 + √3)^k avec k nombre entier > 0. Déterminer le plus petit entier k tel que N =

est divisible par 2²⁰¹⁶. Montrer que N n'est pas divisible par 2²⁰¹⁷.
Q₃ Démontrer que les deux suites définies respectivement par a_n =

et b_n =

pour n = 1,2,3,... contiennent l'une et l'autre une infinité de puissances de 2 .
Sources: olympiades de mathématiques dans différents pays (Roumanie,Pologne,Chine,...)

Solution