| A2908. La boîte de (petits) poids |
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| A2. Algèbre élémentaire |
 
Je dispose d'une boîte qui contient plusieurs types de
poids, chaque type étant caractérisé par une même masse qui s'exprime en nombre
entier de gramme(s).Cette boîte a les propriétés suivantes :
1) sa masse totale est de 2009 grammes. 2) elle contient le plus petit nombre possible de poids, distincts ou non, permettant de peser de manière unique toute masse allant de 1 à 2009 grammes. 3) si l'on retient un poids de chaque type, leur masse totale est la plus petite possible. Quelle est la composition de cette boîte?
Source : d'après concours général de mathématiques SolutionIl y a deux compositions de boîtes qui viennent naturellement à l'esprit car elles comportent un petit nombre de poids. Il s'agit respectivement de la boîte {1,3,9,27,81,243,729,916} et de la boîte {1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,986}. Avec la première qui fait appel aux deux plateaux d'une balance Roberval,le nombre de poids de chaque type est minimum. Mais l'une comme l'autre ne conviennent pas car la condition selon laquelle toute masse comprise entre 1 gramme et 2009 grammes est pesée de manière unique, n'est pas satisfaite. En effet avec la première boîte,une masse de 916 grammes est pesée de deux manières différentes: d'une part avec le poids de 916 grammes et d'autre part avec les poids de 729 grammes,243 grammes,27 grammes et 1gramme mis sur un plateau et 81 grammes et 3 grammes placés sur l'autre plateau.Avec la deuxième boîte on a l'équation 986 = 512 + 256 + 128 + 64 + 16 + 8 + 2. La bonne composition de la boîte est décrite dans les réponses de Jean Moreau de Saint Martin,Claude Felloneau,Pierre Jullien,Gilles Nithart,Daniel Collignon,Patrick Gordon,Pierre Henri Palmade
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