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A. Arithmetique et algèbre -
A1. Pot pourri
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On désigne par d1 le iième diviseur extrait de la liste des diviseurs de l’entier n classés par ordre croissant
i = 1,2,3,… avec d1 = 1.
Diophante soumet à Zig ces trois équations :
Aidez Zig à déterminer les deux équations qui ont chacune exactement deux solutions en n entier positif < 10000 et la troisième équation qui a une infinité dénombrable de solutions. Pour cette dernière on donnera les solutions en n ≤ 2026. Justifiez vos réponses.
Solution
 Jean Moreau de Saint Martin,Christian Romon,Pierre Henri Palmade,Patrick Kitabgi,Thérèse Eveilleau,Gaston Parrour,Emmanuel VuillemenotPierrick Verdier,Maurice Bauval,Daniel Collignon,Bruno Grebille,Marc Humery et Pierre Leteurtre ont résolu ou traité tout ou partie du problème.
Nota: ce sont les première et troisième équations qui ont exactement deux solutions en n < 10000, respectivement : (208,304) et (2520,6384). S'agissant de la deuxième équation, l'existence d'une infinité dénombrable de solutions reste une quastion ouverte. Elle repose sur une conjecture selon laquelle les nombres premiers q de la forme q = 4p + 9 avec p lui-meme nombre premier sont en nombre infini. Un parallèle peut être établi avec la conjecture des nombres premiers jumeaux de la forme q = p + 2.
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