Les puissances de 2 pour n=0,1,2,3,4,5,6,... sont bien connues : 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ....

On peut empiler certaines de ces puissances dans une tour les unes au dessus des autres sans qu'elles soient nécessairement toutes calées à droite. On calcule pour chaque colonne la somme des chiffres appartenant à la même colonne et on obtient ainsi les fondations de la tour. On s'intéresse aux tours dont les fondations sont toutes égales entre elles comme le montre l'exemple ci-après :

Cette tour est caractérisée par :

- sa largeur L=3 qui est le nombre de colonnes remplies par au moins un chiffre,
- sa hauteur hors fondations h=6 qui est le nombre de puissances de 2 utilisées,
- ses fondations qui sont égales à la somme f=14 commune à toutes les colonnes.

Question n°1

Il s'agit de trouver le plus petit entier n tel que toutes les puissances de 2 comprises entre 0 et n inclus puissent s'empiler dans une tour dont la largeur L est égale au nombre de chiffres de  et la hauteur h est égale à n+1. Quelles sont les fondations correspondantes ? Trouver l'entier suivant n' qui donne une tour ayant les mêmes caractéristiques.

Question n°2

Faire l'inventaire aussi exhaustif que possible de toutes les tours de largeurs L=2,3,4,5 et 6 et dont les hauteurs sont les plus petites possibles.

 Solution