Q₁ Soit le polynôme P(n) = n¹⁷ + n + 1 défini pour tout entier n. Déterminer les valeurs de n > 1 pour lesquelles P(n) est un nombre premier.

Q₂ Trouver le plus petit nombre premier p₁ dont la somme des chiffres est un nombre premier p₂ dont la somme des chiffres est un nombre premier p₃ dont la somme des chiffres est un nombre premier p₄ ≠ p₃
Pour les très courageux avec l’aide d’un très puissant automate : trouver le nombre premier p₀ dont la somme des chiffres est p₁

Q₃ Un nombre entier à k chiffres est appelé « bi-premier » si les k – 1 paires de chiffres consécutifs forment une suite de k – 1 nombres premiers distincts.Par exemple 173 est bi-premier tandis que 1313 et 196 ne le sont pas.

Déterminer le plus grand entier bi-premier et vérifier que c’est un nombre premier.

Nota : les trois questions sont indépendantes.