| A1897. Une belle salade de phisteaux |
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| A. Arithmetique et algèbre - A1. Pot pourri |
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Déterminer le plus petit entier n > 1 tel que le phi du sigma de son tau est égal à la fois au sigma du tau de son phi et au tau du phi de son sigma.
Pour les plus courageux : déterminer deux autres entiers p et q qui ont la même propriété. Nota La fiche nutritionnelle du phisteau fait apparaître trois composantes φ,σ,τ: - φ(n) = phi(n) = nombre d’entiers compris entre 1 et n inclus et premiers avec n (indicatrice d’Euler de l’entier n), - σ(n) = sigma(n) = somme des diviseurs de n, y compris 1 et n lui-même, - τ(n) = tau(n) = nombre de diviseurs de n. Solution Jean Moreau de Saint Martin,Marc Humery,Pierre Henri Palmade,Francesco Franzosi,Paul Voyer,Thérèse Eveilleau,Marc Foubert,Bernard Vignes,Patrick Gordon,Jean-Louis Legrand,Pierre Leteurtre,Jacques Guitonneau,Antoine Verroken ont résolu le problème et obtenu le premier entier n = 34 qui répond à la première question. Les plus courageux ont obtenu d'autres entiers qui ont la même propriété : 36,96, 128 et 468 tous inférieurs à 500.Ces résultats pourraient laisser croire que les entiers qui satisfont les conditions de l’énoncé sont de plus en plus rares quand n croit. En effet comme τ(n) est significativement plus petit que σ(n) et φ(n), on a le sentiment (à tort) que pour n grand , φ(σ(τ(n))) est toujours inférieur aux deux autres fonctions σ(τ(φ(n))) et τ(φ(σi(n))).On serait alors tenté de dire que les solutions sont en nombre fini. Il n’en est rien si l'on regarde les résultats obtenus par David Draï qui a recensé 28 entiers < 1000000 qui satisfont les deux égalités φ(σ(τ(n))) =σ(τ(φ(n))) = τ(φ(σi(n))) .On constate que dans la factorisation de ces 28 entiers la grande majorité d’entre eux ont des facteurs premiers tous < 100 et l’on retrouve toute la panoplie des facteurs premiers < 100. Peut-on donc raisonnablement conjecturer que le nombre de solutions à ce problème est infini ? |
