Ce principe mis en évidence par le mathématicien Dirichlet, appelé en France principe des tiroirs et en anglais « pigeonhole principle », s'énonce très simplement : si on range (n+1) objets dans n tiroirs, alors un tiroir au moins contiendra au moins deux objets. Les anglophones disent : "si (n+1) pigeons se retrouvent dans un pigeonnier de n lucarnes, deux pigeons vont se retrouver nécessairement dans la même lucarne".

On peut étendre la formulation du principe en considérant un plus grand nombre d'objets : c'est ainsi que si on range (2n+1) objets dans n tiroirs, alors un tiroir au moins contiendra au moins trois objets et de manière générale, si on range (kn+1) objets dans n tiroirs, alors un tiroir au moins contiendra au moins k + 1 objets, ce qui peut encore s'écrire : si on range p objets dans n tiroirs, alors un tiroir au moins contiendra q objets, où q est la valeur entière éventuellement approchée par excès du quotient p/n.

Ci-après un recueil de différents exercices faisant appel à ce principe très puissant et basés sur les nombres.

Problème N°1

Montrer que parmi 101 nombres entiers distincts, il existe toujours 11 d'entre eux dont la somme est divisible par 11

Problème N°2

Un médecin prescrit à son patient de prendre 100 pilules de XXX pendant 9 semaines consécutives à raison d'une pilule au moins par jour. Il n'y a aucune contre-indication sur le nombre maximum de pilules à ne pas dépasser dans une journée. Montrer que pendant les 9 semaines, il existe toujours une période au cours de laquelle le patient prendra :5 pilules,10 pilules,...,5N pilules

Jusqu'où peut aller l'entier N ?

Problème N°3

On choisit un carré parfait N² et on choisit N nombres entiers distincts parmi les entiers de 1 à N² . Pour quelles valeurs de N est-on certain de pouvoir extraire de ces N nombres deux ensembles disjoints de même somme ?

Problème N°4

501 nombres différents sont choisis parmi les entiers de 1 à 1000. Montrer qu'il existe toujours au moins un couple de nombres tel que l'un des termes divise l'autre.

Problème N°5

Montrer qu'il existe une puissance de 73 qui se termine par 2004 fois le chiffre 0 suivis du chiffre 1 : ....(2004 fois le chiffre 0)..0001.

Problème N°6

On constitue l'ensemble S à l'aide de 102 nombres entiers distincts choisis parmi les entiers de 1 à 200. Montrer qu'il existe au moins 2 éléments de S dont la somme appartient S.

Problème N°7
Est-il possible que le produit de cinq nombres entiers consécutifs soit un carré parfait ? Si oui, donner au moins un exemple.

Sources : d'après Martin Gardner Pour la Science n°36 octobre 1980 et nombreuses revues françaises et anglo-saxonnes sur le sujet.

 Solution