On définit comme suit diverses moyennes de deux réels positifs a et b : moyennes

arithmétique A=(a+b)/2$,

géométrique G telle que G^2=ab,

quadratique Q telle que a^2+b^2=2Q^2,

harmonique H telle que 1/a+1/b=2/H,

logarithmique L=(b-a)/ln(b/a) (logarithmes népériens).

Montrer qu'il est possible de démontrer simultanément et de façon simple que la suite H, G, L, A, Q est strictement croissante par la considération d'expressions faisant intervenir des fonctions hyperboliques d'une variable positive x.

Problème proposé par M.D. Indjoudjian, paru dans La Jaune et la Rouge de novembre 2016

 Solution