Pour respecter la tradition,nous les invitons à commencer cette année par la résolution de cinq énigmes qui ont été préparées par Raymond Bloch et mettent le nouveau millésime à l'honneur.

1ère énigme
Résoudre le cryptarithme LE + NOUVEL + AN + 2016 = ARRIVE, dans lequel les lettres représentent des chiffres distincts choisis dans l'ensemble {0,1,2,3,...9} et aucun nombre ne commence par zéro.
2ème énigme
Existe-t-il un carré parfait dont la somme des chiffres est 2016 ?
3ème énigme
Existe-t-il une puissance de 2 se terminant par 2016 ? Si oui, quelle est la plus petite ? Si non, prouvez que c’est impossible.
4ème énigme
L’hexagone obtenu en construisant 3 carrés à l’extérieur des côtés d’un triangle rectangle, dont les côtés de l’angle droit ont pour longueurs entières p et q, p > q , a une aire égale à 2016.Trouver p et q.
5ème énigme
On considère quatre additions: la première contient quatre entiers de 4,3,2 et 1 chiffres, la seconde un seul entier de 4 chiffres et trois entiers de 2 chiffres, la troisième deux entiers de 3 chiffres et deux entiers de 2 chiffres et la dernière trois entiers de 3 chiffres et un entier à 1 chiffre. Dans chaque addition les quatre entiers utilisent les 10 chiffres de 0 à 9 une fois et une seule.
Q₁:Démontrer que pour l’une des quatre additions, il est impossible d’obtenir le total 2016 mais qu’à l’inverse c’est possible pour les trois autres désignées par A₁,A₂ et A₃.
Q₂:On inscrit les contenus des additions A₁,A₂ et A₃. de total 2016 dans un tableau à double entrée de 5 lignes et 3 colonnes. Dans chaque colonne n°i les entiers de l’addition A_i ( i = 1,2,3) sont écrits dans l’ordre décroissant sur les lignes j = 1,2,3,4 .La cinquième ligne donne le même total 2016 des trois colonnes.
On constate que :
- le PGCD de tous les entiers du tableau est un entier p > 1.
- sur la première ligne du tableau,un entier est le double d’un autre.
- sur la deuxième ligne, deux entiers sont identiques.
- sur la troisième ligne, deux d’entre eux sont égaux à p².
Déterminer les trois additions A₁,A₂ et A₃.

Q₃:Pour les plus courageux: en quelle année X postérieure à 2016 et la plus proche de 2016, est-il possible de construire trois additions qui ont les mêmes propriétés que celles de Q₂?

Solution