A1864. Une bande de k-premiers Imprimer
A. Arithmetique et algèbre - A1. Pot pourri

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Un entier est appelé par convention k-premier s’il est égal au produit de k nombres premiers distincts. Par exemple 2015 = 5*13*31 est 3-premier mais 18 = 2*3*3 ne l’est pas.
On considère quatre entiers w,x,y,z pris dans cet ordre qui ont les propriétés suivantes :
1)    ils sont respectivement 1,2,3,4-premiers,
2)    x est le plus grand et y est le plus petit,
3)    leur produit est un carré parfait,
4)    leur somme S est 5-première.
Trouver la bande des cinq entiers w,x,y,z,S  tels que S est la plus petite somme possible.

 Solution


Tous nos lecteurrs ont bien constaté qu'avec la valeur minimale de S = 2310 = 2*3*5*7*11 et à partir des cinq nombres premiers 2,3,5,29,47, il existait cinq entiers (47,1363,30,870,2310) répondant aux quatre conditions de l'énoncé. C'est la solution à laquelle avait pensé l'auteur du problème qui était convaincu, à tort, qu'elle était unique....Une fois n'est pas coutume,il existe cinq autres solutions qui font intervenir des nombres premiers > 100 avec une même somme S = 2310 et qui ont été détectées par pdfJean Moreau de Saint-Martin,pdfPhilippe Laugerat,pdfMaurice Bauval et pdfGilles Thomas.
La solution mentionnée ci-dessus,accompagnée éventuellement d'une autre solution, a été donnée par:pdfPierre Henri Palmade, pdfRaymond Bloch,pdfDaniel Collignon,pdfAbdelali Derias, pdfFrancesco Franzosi,pdfJacques Frédéric,pdfPatrick Gordon,pdfMarc Humery,pdfGaston Parrour,pdfMarie-Christine Piquet,pdfFrançois Tisserand,pdfAntoine Verroken et pdfPaul Voyer.