A1912. Cubes et carrés consécutifs Imprimer
A. Arithmetique et algèbre - A1. Pot pourri
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Montrer que si la différence des cubes de deux entiers consécutifs est le carré d'un entier N, alors N est la somme des carrés de deux entiers consécutifs.

 Solution


Jean Moreau de Saint Martin, Fabien Gigante, Pierre Henri Palmade, Jean Nicot et Claude Morin ont résolu le problème.


Daniel Collignon fait les commentaires suivants :

(a+1)^3 - a^3 = N² <=> (2N)² - 3(2a+1)² = 1 (équation de Pell-Fermat)


En supposant que N = (b+1)² + b², les valeurs de b solutions correspondent à la suite http://www.research.att.com/~njas/sequences/A001571


D'où la référence à cet énoncé : V. Thebault, Consecutive cubes with difference a square, Amer. Math. Monthly, 56 (1949), 174-175.