Exercice n°1

Soient deux entiers positifs distincts l'un de l'autre. On calcule successivement puis puis et ainsi de suite.
- Démontrer qu'il existe un entier n tel que x = 0.
- Trouver la séquence la plus longue possible avec x > x et le plus petit entier possible inférieur à un million.

Soit x=2005 puis x=1 618 033 988 749 895. Trouver pour ces deux valeurs de x, la valeur de x < x telle que la séquence est la plus longue possible.

Exercice n°2

Soient a, b,c et d quatre entiers naturels placés aux sommets A, B, C et D d'un carré. Sur les milieux E,F,G et H des quatre côtés AB, BC, CD et DA, on inscrit la valeur absolue de la différence des nombres placés aux extrémités soit respectivement : . Cette opération est appelée DIF.

Est-il vrai que n'importe quel vecteur initial de 4 entiers naturels aboutit au vecteur (0,0,0,0) à l'issue d'un nombre fini d'opérations DIF ?

Exemple : (2005, 1000, 480, 1239) (1005, 520, 759, 766) (485, 239, 7, 239) (246, 232, 232, 246) (14, 0, 14, 0) (14, 14, 14, 14) (0,0,0,0) .

Qu'en est-il si les composantes du vecteur sont des nombres rationnels ? des nombres réels ?

Généralisation : au lieu d'un carré, on considère un polygone régulier à n sommets (n3). Que donne la répétition de DIF avec des vecteurs composés de nombres entiers, rationnels et réels placés aux sommets du polygone ?

 Solution