A1744. La saga de la jonglerie des chiffres (13ème épisode) Imprimer

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Nob Yoshigahara, célèbre compositeur japonais de récréations mathématiques et de puzzles vous propose de résoudre les deux jongleries suivantes, de préférence sans l’aide d’un quelconque automate :
Jonglerie n°1
On place les chiffres de 1 à 9, chacun une fois et une seule, dans trois fractions F₁ ≤ F₂ ≤ F₃ dont les numérateurs sont des entiers à deux chiffres et les dénominateurs sont à un seul chiffre plus grand que 1, de sorte que la somme de ces trois fractions est un entier n.
Q₁ Déterminer la valeur minimale puis la valeur maximale de n pour lesquelles il existe au moins une solution.
Q₂ Existe-t-il des solutions pour n = 12 ? n = 14 ? n = 76 ? n = 79 ? n = 87 ? Si oui combien dans chacun des cinq cas ?
Jonglerie n°2
On place les chiffres de 1 à 9, chacun une fois et une seule, dans trois fractions F₁ ≤ F₂ ≤ F₃ dont les numérateurs sont à un seul chiffre et les dénominateurs sont des entiers à deux chiffres, de sorte que la somme de ces trois fractions est un entier n.
Déterminer la valeur minimale puis la valeur maximale de n pour lesquelles il existe au moins une solution.

 Solution



pdfBernard VignespdfThérèse Eveilleau,pdfLouis Rogliano,pdfDaniel Collignon et pdfPierre Leteurtre ont résolu le problème.

Zig dispose d’une calculette de marque déposée @Méphisto dont le clavier comporte trois touches qui permettent d’obtenir à partir d’un entier quelconque n strictement positif affiché à l’écran :
 1) φ(n), fonction d’Euler, le nombre d’entiers qui sont strictement inférieurs à l’entier n et sont premiers avec lui.
2) σ(n) la somme des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même.
3) τ(n) le nombre des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même.
Q₁ Démontrer qu’il existe une infinité d’entiers n strictement positifs tels que l’entier n égalise son sigma (σ) diminué de son phi (φ) et de son tau(τ).
Q₂ Démontrer qu’il existe au moins un entier n strictement positif tel que son double égalise son sigma (σ) augmenté de son phi(φ) et diminué de son tau(τ).
Q₃ Démontrer qu’il existe une infinité de paires d’entiers strictement positifs (m,n) tels que le rapport des deux entiers est l’inverse du rapport de leur sigma (σ).
Q₄ Soit un entier k ≥ 1. Démontrer que l’équation σ(n) = n + k a un nombre fini de solutions.
Application numérique : déterminer le plus grand entier n₀ tel que σ(n₀) = n₀ + 2021. Démontrer qu’il existe un entier n₁ > n₀ tel que φ(n₁) = n₁ – 2021