A1705. Jongleries avec des quadruplets - A1705. Jongleries avec des quadruplets Problèm...

Problème proposé par Patrick Gordon

Zig soumet à Paul, Alice et Émile une liste de 4 entiers positifs distincts et demande à chacun de former la somme-produit ab+cd, où a,b,c et d sont une permutation des 4 nombres laissée au choix de chacun. Paul, Alice et Émile obtiennent respectivement les résultats P > A > E.
Les cinq questions ci-après sont indépendantes entre elles :
Q₁ Paul obtient 55. Déterminer le quadruplet des entiers choisis par Zig et démontrer qu’il est unique.
Q₂ On suppose que P – E = 4 et que le plus grand terme choisi par Zig est égal à 2019. Déterminer P
Q₃ On suppose que Zig a choisi quatre nombres premiers dont la somme est elle-même un nombre premier. On suppose que P – E = 40. Prouver que les trois nombres P,A,E sont des nombres premiers.
Q₄ On suppose que P – A = 3(A – E) et a + b + c + d = 70.Déterminer le nombre de quadruplets a,b,c,d possibles.
Q₅ Trouver la plus grande valeur que Paul ne peut pas obtenir.

Solution