Q₁ Diophante écrit les entiers de 1 à 5 au tableau noir. Zig choisit deux d’entre eux a et b, a > b, qu’il efface du tableau et les remplace par a² – b². Il poursuit de la même manière jusqu’à obtenir un seul entier c’est-à-dire qu’à chaque étape il choisit deux entiers p et q de la liste éventuellement nuls et pas nécessairement distincts, p ≥ q ≥ 0, les efface et ajoute  à la liste l’entier égal à
p² − q² y compris le nombre 0 quand p = q.
Le dernier entier de la liste ainsi obtenu peut-il être égal à zéro ? Sinon quelle est sa plus petite valeur possible ? [**]
Q₂ On désigne par m_k la plus petite valeur possible que Zig peut obtenir à partir de la liste des entiers de 1 à k
(k ≥ 3). Trouver les valeurs de m₆,m₇,m₈,m₉,m₂₀,m₂₁ [***]
Q₃ Pour les plus courageux : prouver que pour k ≥ 8 la suite des m_k est périodique avec une périodicité que l’on déterminera et en déduire m₂₀₂₅ [*****].

 Solution