Ce problème est proposé par Mario Donsimoni et Denis Chevalier qui ont eu l’occasion d’admirer la dextérité avec laquelle les joueurs de poker manipulent les piles de jetons…

Au départ , vous disposez de deux piles de n jetons, l’une à votre gauche constituée de n jetons blancs, l’autre à votre droite de n jetons noirs.
Vous effectuez les opérations suivantes :
1)    vous intercalez les deux piles pour obtenir une pile de 2n jetons avec en alternance un jeton de la pile de gauche, un jeton de la pile de droite , un jeton de la pile de gauche, un jeton de la pile de droite …les jetons étant toujours pris par le bas de chacune des deux piles.
2)    vous dissociez cette pile en deux nouvelles piles de n jetons, la pile inférieure que vous placez à votre gauche et la pile supérieure que vous placez à votre droite.
3)    vous recommencez les opérations 1) et 2) autant de fois que nécessaire jusqu’à obtenir à nouveau deux piles homogènes de même couleur.
Déterminez la fonction f(n) qui donne pour tout n entier > 1 le nombre de tours nécessaires à l’obtention de deux piles homogènes.
A titre indicatif :
-    pour n = 2, on a f(2) = 2  avec les piles suivantes :

-    pour n = 3, on a f(3) = 4 avec les piles suivantes :

Que devient f(n) si:
-    dans l’opération 1) vous mettez en alternance un jeton de la pile de droite puis un jeton de la pile de gauche…. et l’opération 2) reste inchangée ?
-    dans l’opération 2) vous placez la pile inférieure à votre droite et la pile supérieure à votre gauche et l’opération 1) reste inchangée ?

 Solution