Goupil le renard et Zéphyrin le lièvre, les comparses de Gédéon le canard dans les albums de Benjamin Rabier, mènent un bien curieux ballet. Ils ont creusé n terriers qui sont placés pour la facilité de la représentation sur la circonférence d'un grand cercle avec les étiquettes 1, 2, 3,?. n dans le sens des aiguilles d'une montre. On suppose que Goupil est installé dans le terrier numéroté 1 (colorié en vert dans la figure ci-après) et Zéphyrin dans le terrier numéroté d (dans la figure ci-après terrier n° 6 colorié en mauve).

Leur passe-temps consiste à se déplacer d'un terrier à l'autre en respectant les règles suivantes :

1. chacun des deux compères change de terrier une seule fois par jour,
2. un déplacement se fait toujours d'un terrier à un terrier adjacent vide,
3. l'un et l'autre alternent toujours dans leurs déplacements successifs. Dans une journée, Goupil se déplace toujours le premier. Au tout début de son périple, le renard va dans le sens des aiguilles d'une montre tandis que le lièvre se déplace dans le sens trigonométrique,
4. si l'un des deux compères a l'intention de se déplacer dans un terrier déjà occupé, il change de direction et s'installe dans le terrier adjacent à celui qu'il occupait. Le jour même ou le jour d'après selon qu'il s'agit de Zéphyrin ou de Goupil, l'autre protagoniste change lui aussi de direction.
5. les directions ne changent jamais excepté dans le cas 4) précédemment décrit.

Voici, à titre d'exemple, le début du périple opéré par Goupil et Zéphyrin à partir des terriers 1 et 6 :

Goupil va du terrier 1 au terrier 2 dans le sens des aiguilles d'une montre tandis que Zéphyrin prend le sens inverse pour aller de 6 en 5. Puis Goupil va de 2 en 3 et Zéphyrin de 5 en 4. Goupil constate que le terrier 4 adjacent au terrier 3 est occupé, il change de direction pour s'installer à nouveau dans le terrier 2. Zéphyrin change lui aussi de direction et s'installe dans le terrier 5 . Puis G : etc? et Z : etc?

Gédéon a observé que leur ballet a duré 999 jours et qu'à l'issue de cette période, Goupil et Zéphyrin retrouvaient l'un et l'autre pour la première fois leurs terriers de départ. En supposant que Goupil part le premier du terrier n°1, trouver le nombre de terriers n et la position de départ d de Zéphyrin.

Avec un nombre n' de terriers et/ou une position de départ d' de Zéphyrin, le ballet des deux comparses peut-il durer 2005 jours ?

Source :Konhauser Problemfest

 Solution