E6931-Le casse-tête des allumettes - E6931-Le casse-tête des allumettes E6. | Les jeux mathématiques de Diophante, plus de 3

On agence n allumettes de même longueur de manière à obtenir un graphe d’un seul tenant dessiné sur un plan, dont toutes les arêtes sont des segments de droite qui peuvent de rencontrer en des points distincts de leurs extrémités.
On désigne par s(n) le nombre de sommets de ce graphe.
Par exemple, voici trois graphes-allumettes obtenus avec 5 allumettes de même longueur.

Dans le premier graphe on a s(5) = 6, dans le deuxième s(5) = 5 et dans le troisième s(5) = 4
Pour tout entier n ≥ 1, il existe au moins un graphe qui rend maximum le rapport n/s(n). On désigne par r(n) la valeur maximale de ce rapport.
Par exemple pour n = 5, r(5) = 5/4 qui correspond au losange obtenu par adjonction de deux triangles équilatéraux.
Déterminer le plus petit entier n tel que :
a) r(n) ≥ 3/2
b) r(n) ≥ 2
Pour les plus courageux : existe-t-il un entier n tel que r(n) = 3 ?

Le casse-tête a été résolu parJean Moreau de Saint Martin,Daniel Collignon,Thérèse Eveilleau dans le cas général où les allumettes peuvent se croiser en des points distincts de leurs extrémités et par Pierre Henri Palmade et Nicolas Petroff dans le cas où les allumettes se rencontrent exclusivement en leus extrémités.

Solution