| E653. Un cinquième tour de cartes |
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| E6. Autres casse-tête |
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Problème proposé par Michel Cayrol
On considère un jeu de 2n cartes (n>0). Les nombres de 0 à 2n −1 sont imprimés sur les faces des cartes. Les cartes sont empilées, faces vers le bas, initialement ordonnées de 0 à 2n −1, la carte 0 étant la carte supérieure (en sommet de pile), la carte inférieure étant la carte de numéro 2n −1. Un nombre p appartenant à {0,1,2,3,...,2n −1} est choisi. On identifiera une carte avec le nombre inscrit sur sa face. Procédure : La pile de 2n cartes, orientée avec les cartes faces vers le bas, est distribuée en deux piles de la manière suivante : La carte supérieure est retournée face en haut et posée du côté gauche, la suivante est retournée et posée face en haut du côté droit, la suivante face en haut vient recouvrir celle de gauche, la suivante, face en haut celle de droite . . . et ce jusqu’à épuisement de la pile initiale. Il en résulte deux piles de 2n−1 cartes faces vers le haut. Enfin, la pile qui ne contient pas la carte p est posée sur l'autre pile, le paquet résultant est retourné faces vers le bas. Fin de la procédure. Cette procédure est exécutée en tout n fois. Il en résulte une pile de cartes que nous appellerons Pile. Q1 Démontrer que la carte p se retrouve au sommet de la pile Pile. Q2 Démontrer que la carte 0 initialement en sommet de pile se trouve à la position initiale de la carte p. Q3 Analyser les positions successives de ces deux cartes si on continue à appliquer la procédure. Nota : ce problème est le cinquième tour de cartes dans la rubrique E6xxx après E614,E615,E624 et E626. Solution |
