| E6922. La ligne jaune |
|
| E6. Autres casse-tête |
|
Zig joue à une bataille de nombres contre son ordinateur.
L’automate choisit au hasard un entier positif N et un entier n0 l’un et l’autre à trois chiffres dans l’intervalle [100,499] puis il affiche au premier tour l’entier n1 = N + n0 qui a toujours trois chiffres. Zig peut changer à sa convenance l’ordre des chiffres de n1 et il déclare m1 qui peut-être identique à n1. L’ordinateur calcule alors au deuxième tour n2 = N + m1. Si n2 dépasse 999, Zig perd la partie. Sinon, Zig peut à nouveau modifier les chiffres de n2 et il déclare m2… et ainsi de suite,au kième tour, l’ordinateur calcule l’entier nk = N + mk-1 dont Zig peut changer l’ordre des chiffres. Si, à ce tour, nk dépasse la ligne jaune 999,Zig perd la partie et si nk est affiché pour la deuxième fois, Zig gagne la partie(1). Dans les trois cas suivants, qui gagne la partie? Q1 L’ordinateur affiche N = 459 et n0 = 487 Q2 L’ordinateur affiche N = 199 et n0 = 321 Q3 L’ordinateur affiche N = 244 et n0 = 495 Q4 Pour les plus courageux : pour quelles valeurs de N Zig est-il assuré de gagner quel que soit l’entier n₀ choisi par l’ordinateur ? Nota (1) Avec N = 337 et n0 = 128, un début de partie pourrait être : n1 = 337 + 128 = 465, m1 = 546, n2 = 337 + 546 = 883, m2 = 388, n3 = 337 + 388 = 725, m3 = 257 etc… (2) Au cours de la partie, Zig peut rencontrer un entier nk qui contient un zéro en deuxième ou troisième position. Il peut afficher mk commençant par un zéro. Solution |
