Problème proposé par Pierre Leteurtre

On s’intéresse aux expressions qui sont écrites en Notation Polonaise Inversée (NPI) avec l’ensemble des nombres de 1 à 9 pris dans cet ordre et qui donnent une même valeur fixée à l’avance.
On dit que deux expressions en NPI sont synonymes si les expressions parenthèsées⁽¹⁾ correspondantes sont identiques.
On considère l’ensemble suivant (E) de six expressions NPI :
A : 1 2 3 * 4 + 5 6 7 + 8 * ‒ * 9 ‒ ‒
B : 1 2 3 4 5 6 * *7 + ‒ 8 * 9 ‒ + ‒
C : 1 2 3 * 4 + 5 6 7 + 8 * ‒ * ‒ 9 +
D : 1 2 3 4 *‒5 6 7 + 8 * ‒ * + 9 +
E : 1 2 ‒ 3 4 5 * 6 * ‒7 ‒ 8 *  ‒ 9+
F : 1 2 3 4 ‒ 5 6 7 + 8 * + * ‒ 9 * +
Q₁ Prouver que ces six expressions prennent la même valeur.
Q₂ Traduire ces six expressions en six expressions parenthèsées⁽¹⁾ puis prouver qu’il y a :
 1°) deux expressions synonymes de (E) qui sont également synonymes de 18 expressions en NPI n’appartenant pas à (E).
2°) deux expressions synonymes de (E) qui n’ont pas d’autres expressions synonymes.
3°) une expression qui trouve une synonyme unique en dehors de (E)
4°) une dernière expression qui n’a pas de synonyme.
⁽¹⁾Nota
Par exemple l’expression parenthèsée associée à l’expression en NPI : 1 2 3 + ‒  4 * =  ‒ 16 s'écrit :
(1 – (2 + 3)) * 4 = ‒ 16

 Solution

DAniel Collignon et Pierre Leteurtre ont résolu le problème