| E699. Régime minceur |
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| E6. Autres casse-tête |
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A partir d'un entier quelconque n strictement positif, on peut réaliser les deux opérations suivantes:
1) le multiplier par un entier quelconque strictement positif, 2) supprimer tout ou partie des zéros de sa représentation décimale. Q1 Démontrer que pour tout entier n strictement positif, on peut effectuer une suite finie d'opérations qui transforme n en un entier à un seul chiffre (1,2,3,...,9) Q2 Démontrer qu'on sait appliquer ce régime minceur à l'entier 2018 et obtenir l'un quelconque des neuf chiffres compris entre 1 et 9. Solution Bernard Vignes,Jean-Louis Legrand,Thérèse Eveilleau,David Draï,Jean Nicot,Pierre Jullien et Maurice Bauval ont résolu tout ou partie du problème.La résolution de Q1 s'est révélée délicate et les algorithmes proposés par nos lecteurs apportent très souvent le régime minceur mais pas de manière systématique. Une méthode pour obtenir de manière certaine ce régime minceur consiste à transformer (si nécessaire) l'entier n en un entier impair n' se terminant par 1 ou 3 ou 7 ou 9 puis à rechercher un répunit R constitué de chiffres 1 qui est un multiple de n'. La multiplication de R par 82 donne R' dont on élimine l'unique zéro. 9R' donne enfin 828 quel que soit le nombre de chiffres 1 dans R. 828 se transforme aisément en 9. |
