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Sur chaque sommet d"un pentagone régulier on inscrit dans le sens horaire les entiers relatifs: ‒ 18153, ‒ 24204, 46391, ‒ 48408, 54459
Si sur trois sommets consécutifs se trouvent placés les entiers x, y et z avec y < 0, alors on peut remplacer respectivement x par x + y, y par ‒ y et z par z + y.
On poursuit le processus aussi longtemps qu'il y a au moins un nombre négatif parmi les cinq nombres.
Prouver si oui ou non le processus se termine en un nombre fini d'étapes. Si oui, quels sont les entiers finaux?
Solution Ce problème est une variante sous la forme d'une application numérique du problème n°3 posé en 1986 aux Olympiades internationales de mathématiques à Varsovie. Voir http://www.imo-official.org/problems.aspx.L'énoncé était le suivant: on affecte cinq nombres entiers relatifs aux sommets d'un pentagone régulier de sorte que leur somme est strictement positive.
Si sur trois sommets consécutifs on trouve respectivement trois nombres x,y,z avec y < 0, alors on peut remplacer x par x + y, y par - y et z par z + y. On poursuit le processus aussi longtemps qu'il y a au moins un nombre négatif parmi les cinq nombres.Démontrer que le processus se termine nécessairement en un nombre fini d'étapes.
La plupart des lecteurs [  Claudio Baiocchi,Jacques Guitonneau,Maurice Bauval,Jean Moreau de Saint Martin,Michel Lafond,Pierre Leteurtre et Thérèse Eveilleau ] ont donné des solutions tout à fait recevables dans lesquelles ils constatent par des traitements manuels ou avec l'aide d'un automate qu'en 30 étapes on obtient les cinq entiers identiques (2017,2017,2017,2017,2017) quelle que soit la séquence des chemins intermédiaires.
De son côté Dominique Chesneau a donné une solution du problème dans sa généralité.en trouvant une fonction f des cinq nombres inscrits aux sommets du pentagone à valeurs dans N et qui est strictement décroissante à chaque itération.
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