Problème proposé par Marie-Christine Piquet

Dans la salle de spectacle, une sphère⁽¹⁾ contient 98 boules numérotées de 3 à 100, soit deux fois la quantité de celles du premier loto.
Diophante, Zig et Puce sont isolés et séparés, une ardoise et une craie dans les mains. L’animateur procède à un tirage et communique le numéro n à chacun d’eux sans l’annoncer à la salle.
Les trois amis ont une minute pour écrire chacun un nombre entier, respectivement d, p et z. Ils appliquent une règle convenue à l’avance : chacun calcule son nombre à partir de n par une formule polynomiale du second degré à valeurs entières, de sorte que, quel que soit n, d > p > z(1). Économe de sa craie, Diophante a choisi pour son propre nombre une formule unitaire en n : le coefficient de n² vaut 1.
Les trois nombres sont alors récupérés par l’animateur, qui annonce au public l’entier p − z après avoir fait remarquer qu’en additionnant les entiers de 1 à d à l’exclusion de z et de p, le résultat est exactement le produit z·p, quel que soit le numéro tiré.
La première personne dans le public qui trouve n et les trois nombres écrits par les trois amis gagne 100 €.
Q₁. Lors d’un tirage, p − z = 946. Que vaut n et quel nombre Diophante a-t-il écrit ?
Q₂. Au cours d’une soirée, 8 tirages sont effectués. Toute boule sortie n’est pas remise en jeu dans la soirée. Zig et Puce n’ont inscrit en tout que 12 nombres distincts. Quelle était la grille des 8 numéros sortis ?

⁽¹⁾Les boules n° 1 et n° 2 en ont été retirées : sinon, avec l’une ou l’autre, Zig et Puce auraient écrit le même nombre

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