Problème proposé par Bernard Vignes

Diophante lance une pièce de monnaie supposée parfaite. Si « pile » apparaît, Zig est vainqueur et si « face » apparaît, Puce est vainqueur. Au premier lancer, le perdant verse 1 € au vainqueur, puis aux lancers suivants n°2,3,….k, le perdant verse au vainqueur 2 € puis 4 €…etc…2^k-1 €.
Au début de la partie Zig a en poche un nombre entier d’euros ≤ 9 et Puce a un nombre entier d’euros à quatre chiffres. A la fin de la partie le capital de Puce en € est réduit à deux chiffres tandis que celui de Zig est à trois chiffres.
Déterminer le nombre minimum n de lancers gagnants pour Zig.
Donner l’exemple d’une partie qui respecte les conditions de l’énoncé avec ces n lancers gagnants pour Zig.

Solution