Chacun des entiers de 1 à 25 est inscrit dans une des 25 cases du  tableau suivant :

Pour chaque groupe de trois cases consécutives, on calcule la somme des trois nombres contenus dans les trois cases et on obtient 23 sommes S_j  pour j = 1 à 23. Soit S la plus grande de ces sommes.

Q₁ . On place les entiers dans les 25 cases de façon à obtenir la plus petite valeur possible S_min de S. Prouver que les nombres a₁,a₄,a₇,...a_3k+1,..a₂₅ sont  alors tous supérieurs ou égaux à un nombre m que l’on déterminera[*]
Q? Déterminer S_min et donner une séquence possible des a_i [***]
Q? Pour les plus courageux : avec les n > 3 premiers entiers naturels inscrits dans n cases, existe-t-il une formule générale qui exprime S_min en fonction de n? [*****]

Source : d’après l’exercice n°3 proposé aux Olympiades académiques 2014 de Versailles.

 Solution