Sur une première ligne, on écrit les entiers naturels de 1 à n (n > 1) pas nécessairement dans cet ordre.
1ère énigme : sur une deuxième ligne, on écrit une permutation de ces mêmes nombres de manière à obtenir n paires de nombres placés l’un au dessus de l’autre. Sur une troisième ligne, on écrit les sommes des n paires de nombres. Pour quelles valeurs de n cette troisième ligne peut-elle être constituée exclusivement de carrés parfaits ?
Application numérique : n prend successivement les valeurs  9,17,2011 et 1 000 000.
2ème énigme : sur une deuxième ligne, on écrit en dessous de chaque terme de la première ligne le nombre d’entiers de cette première ligne situés à sa droite et strictement supérieurs à lui. De cette manière, on obtient une deuxième ligne constituée de n entiers. On répète l’opération sur une troisième ligne,...jusqu’à obtenir une dernière ligne remplie exclusivement de zéros. A l’exclusion de la première ligne et de cette dernière ligne,quel est le plus grand nombre de lignes qu’il est possible d’écrire ?
Application numérique : pour n = 13 et n = 14 donner une écriture de la première ligne qui permet d’écrire ensuite le maximum de lignes.

 Solution