Q1 - 2010 nombres entiers strictement positifs, pas nécessairement distincts, sont écrits en vrac sur un très grand tableau noir. J’écris une première séquence d’entiers a₀,a₁,a₂,...,a_i,...  telle que pour i = 0,1,2,.... a_i  est le nombre de ces entiers strictement supérieurs à i. Je continue tant que les a_i  sont strictement positifs et je n’écris pas de zéros. Je poursuis avec une deuxième séquence d’entiers b₀,b₁,b₂,...,b_j,....   obtenue à partir de la première sequence selon le même procédé. Et ainsi de suite…. Quels sont les termes de la 2010ième  séquence ?
Q2 - J’efface tout et j’écris une première séquence de 2010 nombres entiers positifs ou nuls, pas nécessairement distincts : a₀,a₁,a₂,...,a_i,...,a₂₀₁₀ . En dessous de chacun des termes  , j’écris une deuxième séquence de 2010 entiers : b₀,b₁,b₂,...,b_i,....,b₂₀₁₀     dans laquelle b_i  est le nombre d’occurrences de l’entier a_i  . Je poursuis le processus en écrivant une troisième séquence de 2010 entiers strictement positifs   c₀,c₁,c₂...,c_i,....,c₂₀₁₀ dans laquelle c_i  représente le nombre d’occurrences de b_i . Et ainsi de suite…
Montrer qu’à partir d’un certain numéro k, les séquences sont toutes identiques entre elles. Quelle est la plus grande valeur possible de k ? Donner l’exemple d’une séquence a₀,a₁,a₂,...,a_i,...,a₂₀₁₀   qui maximise k.
Sources :d’après Tournoi des Villes et  olympiades russes de mathématiques.

 Solution