E532. Des mathématiciens un peu timbrés Imprimer
E5. Enigmes logiques

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Trois mathématiciens A, B et C jouent à un jeu. Un arbitre dispose de huit timbres : 4 rouges et 4 verts. Il colle 2 timbres au hasard sur le front de chacun des mathématiciens et garde les deux timbres restants dans sa poche. Chaque mathématicien est incapable de voir les timbres qu'il a sur le front, pas plus qu'il ne connaît les timbres gardés par l'arbitre. En revanche chacun voit les timbres collés sur le front de ses comparses. L'arbitre demande tour à tour à chacun s'il est capable de deviner les timbres qu'il a sur le front. Voici leur réponse dans l'ordre:
A : Non,
B : Non,
C : Non,
A : Non

Que vont répondre B puis C maintenant ?

 

 Solution


  Solution proposée par pdfAugustin Genoud

Sources :

http://mathenjeans.free.fr/amej/edition/9806preuves/98preuve.html problème n°15 et http://carredas.free.fr/

 

1°) Commencons par montrer, grâce a un raisonnement par l'absurde, que B ne peut pas avoir deux timbres identiques.

 

Supposons donc que B a deux timbres de la même couleur, par exemple deux timbres rouges: RR. Si C avait aussi RR, alors A en déduirait immédiatement qu'il a VV. Inversement si A avait aussi RR, c'est C qui déduirait immédiatement qu'il a VV.

 

Donc A et C ont au moins un timbre V chacun. Mais ils ne peuvent pas avoir tous les deux VV, car sinon B saurait tout de suite qu'il a RR.

 

Il reste 3 cas à considérer:

 

A=VV, B=RR, C=RV

 

A=RV, B=RR, C=VV

 

A=RV, B=RR, C=RV

 

Le premier cas est impossible car alors C, ayant entendu A et B dire non, saurait qu'il n'a ni RR (A aurait dit Oui), ni VV (B aurait dit Oui), et C doit donc dire Oui.

 

De la même maniere, les deux autres cas sont impossibles car c'est A qui, ayant entendu B et C répondre Non, devrait répondre Oui.

 

2°) Bien évidemment, si B avait VV le raisonnement serait le même pour expliquer que l'on arrive dans tous les cas à une contradiction.

 

3°) Tous les cas ont été éliminés, par conséquent B a forcement deux timbres differents, RV. Puisque nous, qui ne voyons pas les timbres, avons su le prouver, à plus forte raison B qui les voit ne peut que le constater. La deuxième réponse de B est donc: OUI !

 

4°) Sachant que B=RV, il y a 7 cas possibles:

 

1. A=RR, B=RV, C=VV

 

2. A=RR, B=RV, C=RV

 

3. A=VV, B=RV, C=RR

 

4. A=VV, B=RV, C=RV

 

5. A=RV, B=RV, C=RR

 

6. A=RV, B=RV, C=VV

 

7. A=RV, B=RV, C=RV

 

Or C ne peut pas distinguer les cas 1 et 2, ni les cas 3 et 4, ni les cas 5, 6 et 7. Il ne peut donc répondre que NON a la dernière question. Par ailleurs, si on continuait à interroger les trois personnes, chacun resterait sur sa position: A et C ne peuvent ni l'un ni l'autre savoir ce qu'il a sur le front, alors que B le sait.

 

En résumé, B répondra "OUI j'ai un timbre rouge et un timbre vert", et C répondra "NON je n'en sais toujours rien".