Le jeu de NIM est à l'origine d'un grand nombre de jeux logiques dont le plus connu en France est le jeu des allumettes que le film d'Alain Resnais « L'année dernière à Marienbad Â» a immortalisé il y a plusieurs années déjà.
Sur ce site de Diophante, une douzaine de variantes du jeu de NIM sont d'ores et déjà archivées (E420 et suivantes).

En voici deux autres :
Variante N°1
Diophante inscrit 2005 sur le tableau. Hippolyte et Théophile tour à tour rayent le dernier nombre entier N inscrit sur le tableau et le remplacent par N-1 ou N-3 ou N-7. Celui qui inscrit 0 gagne la partie. Théophile joue le premier. A-t-il une stratégie gagnante ?
Dans un deuxième partie toujours avec l'entier 2005 comme nombre de départ, on peut remplacer le dernier nombre inscrit N par N-3 ou N-4 ou N-11 ou N-18. Celui qui inscrit 0 gagne la partie.
Théophile joue toujours le premier. A-t-il une stratégie gagnante ?

Source : d'après olympiades américaines de mathématiques

 

Variante N°2
Diophante inscrit 2005 sur le tableau. Hippolyte joue le premier. Il raye le nombre 2005 et le remplace par deux entiers positifs a et b tels que a+b=2005. Au tour suivant, Théophile peut soit rayer l'entier a et le remplacer par deux entiers a 1et a 2tels que a 1 + a 2 = a ou rayer l'entier b et le remplacer par deux entiers b 1 et b 2tels que b 1 + b 2 = b. Tour à tour, chacun des deux joueurs raye donc un nombre quelconque figurant sur le tableau et le remplace par deux entiers dont la somme est égale au nombre rayé. Le gagnant est celui qui écrit un nombre tel que seuls les chiffres 1 et 2 figurent sur le tableau.
Qui gagne la partie ?
Source : d'après olympiades américaines de mathématiques

 Solution